Question

【題目】已知函數，.

（1）設函數()，討論的極值點個數；

（2）設直線為函數的圖像上一點處的切線，試探究：在區間上是否存在唯一的，使得直線與曲線相切.

Answer 1

【答案】（1）當時，有兩個極值點，時，沒有極值點.（2）存在，答案見解析

【解析】

（1）求出函數的導數，令，根據的符號，分類討論，即可求解；

（2）由，求得切線的方程，設直線與曲線相切于點，由，說明的方程也是，再證明在區間上存在且唯一即可.

（1）由題意，函數，

可得()，令.，

①當即時，在上恒成立，此時在上單調遞增，極值點個數為0

②當時，在上恒成立，此時在上單調遞增，極值點個數為0；

③當時，，設，是的兩根，則，，故，，此時在上有兩個極值點.

綜上所述，當時，有兩個極值點，時，沒有極值點

（2）因為，可得，

所以切線的方程為，即

設直線與曲線相切于，∵，∴即，

∴，

∴直線的方程也為，即，

∴，即.

下證：在區間上存在且唯一，設()，

，則在上單調遞增.

又，，

由零點存在性定理知：存在，使得，即.

故在區間上存在唯一的，使得直線與曲線相切.