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【題目】已知橢圓，、為橢圓的左、右焦點，為橢圓上一點，且.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設直線，過點的直線交橢圓于、兩點，線段的垂直平分線分別交直線、直線于、兩點，當最小時，求直線的方程.

【答案】(1) (2) 或.

【解析】

（1）設橢圓的左焦點，由，解得，再結合橢圓的定義，求得的值，即可得到橢圓的方程；

（2）可設直線，聯立方程組，求得，利用弦長公式，求得和的長，進而得到，利用基本不等式，求得的值，即可求解.

（1）設橢圓的左焦點，則，解得，

所以，則由橢圓定義，∴，

故橢圓的標準方程為.

（2）由題意直線的斜率必定不為零，于是可設直線，

聯立方程得，

∵直線交橢圓于，，

∴

由韋達定理，

則，∴

∵，∴，∴

又

∴

當且僅當即時取等號.

此時直線的方程為或.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某研究機構為了了解大學生對冰壺運動的興趣，隨機從某校學生中抽取了100人進行調查，經統計男生與女生的人數比為，男生中有20人表示對冰壺運動有興趣，女生中有15人對冰壺運動沒有興趣.

（1）完成列聯表，并判斷能否有把握認為“對冰壺運動是否有興趣與性別有關”？

有興趣

沒有興趣

合計

男

20

女

15

合計

100

（2）用分層抽樣的方法從樣本中對冰壺運動有興趣的學生中抽取6人，求抽取的男生和女生分別為多少人？若從這6人中選取兩人作為冰壺運動的宣傳員，求選取的2人中恰好有1位男生和1位女生的概率.

附：參考公式1.，)；2.，其中

0.150

0.100

0.050

0.025

0.010

2.072

2.076

3.841

5.024

6.635

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，.

（1）設函數()，討論的極值點個數；

（2）設直線為函數的圖像上一點處的切線，試探究：在區間上是否存在唯一的，使得直線與曲線相切.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】西安市自2017年5月啟動對“車不讓人行為”處罰以來，斑馬線前機動車搶行不文明行為得以根本改變，斑馬線前禮讓行人也成為了一張新的西安“名片”.

但作為交通重要參與者的行人，闖紅燈通行卻頻有發生，帶來了較大的交通安全隱患及機動車通暢率降低，交警部門在某十字路口根據以往的檢測數據，得到行人闖紅燈的概率約為0.4，并從穿越該路口的行人中隨機抽取了200人進行調查，對是否存在闖紅燈情況得到列聯表如下：

30歲以下

30歲以上

合計

闖紅燈

60

未闖紅燈

80

合計

200

近期，為了整頓“行人闖紅燈”這一不文明及項違法行為，交警部門在該十字路口試行了對闖紅燈行人進行經濟處罰，并從試行經濟處罰后穿越該路口行人中隨機抽取了200人進行調查，得到下表：

處罰金額（單位：元）

5

10

15

20

闖紅燈的人數

50

40

20

0

將統計數據所得頻率代替概率，完成下列問題.

（Ⅰ）將列聯表填寫完整（不需寫出填寫過程），并根據表中數據分析，在未試行對闖紅燈行人進行經濟處罰前，是否有99.9%的把握認為闖紅燈與年齡有關；

（Ⅱ）當處罰金額為10元時，行人闖紅燈的概率會比不進行處罰降低多少；

（Ⅲ）結合調查結果，談談如何治理行人闖紅燈現象.

參考公式： ，其中

參考數據：

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

1.132

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】自新型冠狀病毒疫情爆發以來，人們時刻關注疫情，特別是治愈率，治愈率累計治愈人數／累計確診人數，治愈率的高低是“戰役”的重要數據，由于確診和治愈人數在不斷變化，那么人們就非常關心第天的治愈率，以此與之前的治愈率比較，來推斷在這次“戰役”中是否有了更加有效的手段，下面是一段計算治愈率的程序框圖，請同學們選出正確的選項，分別填入①②兩處，完成程序框圖.（ ）

：第天新增確診人數；：第天新增治愈人數；：第天治愈率

A.，B.，

C.，D.，

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，，，，，且.

（1）求證：平面平面；

（2）求點到平面的距離.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數.

（1）討論函數的極值點的個數；

（2）若有兩個極值點，證明：.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】為迎接2022年冬奧會，某市組織中學生開展冰雪運動的培訓活動，并在培訓結束后對學生進行了考核.記表示學生的考核成績，并規定為考核優秀.為了了解本次培訓活動的效果，在參加培訓的學生中隨機抽取了30名學生的考核成績，并作成如圖所示的莖葉圖：

（1）從參加培訓的學生中隨機選取1人，請根據圖中數據，估計這名學生考核為優秀的概率；

（2）從圖中考核成績滿足的學生中任取3人，設表示這3人中成績滿足的人數，求的分布列和數學期望；

（3）根據以往培訓數據，規定當時培訓有效.請你根據圖中數據，判斷此次冰雪培訓活動是否有效，并說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線與過點的直線交于兩點.

（1）若，求直線的方程；

（2）若，軸，垂足為，探究：以為直徑的圓是否過定點？若是，求出該定點的坐標；若不是，請說明理由.

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