Question

【題目】已知函數關于的不等式的解集是，若，則的取值范圍是________.

Answer 1

【答案】

【解析】

作出y＝f（x）的圖象，由題意可得f（x）＜m（x+2）+2，作出直線y＝m（x+2）+2，其恒過定點（﹣2，2），結合題意可得m＜0，考慮直線經過點（0，1）和與直線y＝1﹣4x平行的情況，再通過旋轉即可得到m的范圍．當x≤﹣1時和當x＞﹣1時，分別解方程，x2+6x+10﹣mx﹣2m﹣2＝0，即x2+（6﹣m）x+8﹣2m＝0的兩個實根x1，x2；x1+x2＝m﹣6；方程﹣4x+1﹣mx﹣2m﹣2＝0的實根是x3；用m表示x1+x2+x3，根據m的取值范圍解出即可．

畫出函數y＝f（x）的圖象，

關于x的不等式f（x）﹣mx﹣2m﹣2＜0，

即為f（x）＜m（x+2）+2，

作出直線y＝m（x+2）+2，其恒過定點（﹣2，2），

由解集是（x1，x2）∪（x3，+∞），

若x1x2x3＞0，

可得x1＜0，x2＜0，x3＞0，

當x≤﹣1時，x1，x2，是方程x2+6x+10﹣mx﹣2m﹣2＝0的兩個實根；

即x2+（6﹣m）x+8﹣2m＝0的兩個實根，∴x1+x2＝m﹣6；

當x＞﹣1時，x3是方程﹣4x+1﹣mx﹣2m﹣2＝0的實根；

∴x3；

∴結合圖象可得m＜0，

當直線y＝m（x+2）+2經過（0，1）時，可得2m+2＝1，

解得m；

當直線y＝m（x+2）+2與直線y＝1﹣4x平行時，

m＝﹣4．

由可得﹣4＜m．

∴m+4＞0，

則212＝212；

當且僅當m+4時，即m＝﹣4時取等號；

故答案為：[212，+∞）．