Question

【題目】某公司準備投產一種新產品，經測算，已知每年生產萬件的該種產品所需要的總成本（萬元），依據產品尺寸，產品的品質可能出現優、中、差三種情況，隨機抽取了1000件產品測量尺寸，尺寸分別在，，，，，，（單位：）中，經統計得到的頻率分布直方圖如圖所示.

產品的品質情況和相應的價格（元/件）與年產量之間的函數關系如下表所示.

產品品質	立品尺寸的范圍	價格與產量的函數關系式
優
中
差

以頻率作為概率解決如下問題：

（1）求實數的值；

（2）當產量確定時，設不同品質的產品價格為隨機變量，求隨機變量的分布列；

（3）估計當年產量為何值時，該公司年利潤最大，并求出最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析（3）年產量時，該公司年利潤取得最大值，最大利潤為138萬.

【解析】

（1）根據在頻率分布直方圖中所有小矩形的面積和為1，可以求出實數的值；

（2）分別求出當產品品質為優、為中、為差時的頻率，然后列了分布列，

（3）根據題意，得到該公司年利潤的函數關系式，然后利用導數求出公司年利潤最大值.

解：（1）由題意得，解得；

（2）當產品品質為優時頻率為，此時價格為；

當產品品質為中時頻率為，此時價格為；

當產品品質為差時頻率為，此時價格為；

以頻率作為概率，可得隨機變量的分布列為：

	0.5	0.2	0.3

（3）設公司年利潤為，則

整理得，

顯然當時，，時，，

∴當年產量時，取得最大值.

估計當年產量時，該公司年利潤取得最大值，最大利潤為138萬.