【題目】如圖，在四棱錐
中，
底面
，
，
，
，
.
（1）求證：
；
（2）若
，求平面
和平面
所成的角（銳角）的余弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】
（1）取
的中點
，連接
，根據線面垂直的判定定理，證明
平面
，進而可得線線垂直；
（2）以
為坐標原點，分別以
，
，
所在直線為
軸，
軸，
軸建立空間直角坐標系
，設
，根據題中條件，分別求出兩平面的法向量，求出兩向量夾角的余弦值，即可得出結果.
（1）證明：取的中點，連接，
因為
，所以
，
又因為
，所以四邊形
是平行四邊形.
因為
所以四邊形是矩形.
所以
.
又
所以
.
所以
是直角三角形，即
.
又
底面
，
底面，
所以
.
又
平面，平面，且
.
所以平面.
又
平面，
所以
.
（2）如圖，以為坐標原點，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，
設，則
，
由（1）知
，
，
.
，
所以
.
所以
所以
.
設平面
的法向量為
，則
所以
，即
，
取
，則
，
，
所以平面的一個法向量為
.
又平面
的一個法向量為
所以
所以平面和平面所成的角（銳角）的余弦值為.
名師指導期末沖刺卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇跡之一，其中較為著名的是胡夫金字塔．令人吃驚的并不僅僅是胡夫金字塔的雄壯身姿，還有發生在胡夫金字塔上的數字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周長如果除以其高度的兩倍，得到的商為3.14159，這就是圓周率較為精確的近似值．金字塔底部形為正方形，整個塔形為正四棱錐，經古代能工巧匠建設完成后，底座邊長大約230米．因年久風化，頂端剝落10米，則胡夫金字塔現高大約為（ ）
A.128.5米B.132.5米C.136.5米D.110.5米
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
的離心率為
，過左焦點
的直線與橢圓交于
，
兩點，且線段
的中點為
.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設
為上一個動點，過點與橢圓只有一個公共點的直線為
，過點與
垂直的直線為
，求證：與的交點在定直線上，并求出該定直線的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列
的前n項和為
，且n、
、成等差數列，
.
（1）證明數列
是等比數列，并求數列的通項公式；
（2）若數列
中去掉數列的項后余下的項按原順序組成數列
，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公司生產某種產品，一條流水線年產量為
件，該生產線分為兩段，流水線第一段生產的半成品的質量指標會影響第二段生產成品的等級，具體見下表：
第一段生產的半成品質量指標 |
|
|
|
第二段生產的成品為一等品概率 | 0.2 | 0.4 | 0.6 |
第二段生產的成品為二等品概率 | 0.3 | 0.3 | 0.3 |
第二段生產的成品為三等品概率 | 0.5 | 0.3 | 0.1 |
從第一道生產工序抽樣調查了
件，得到頻率分布直方圖如圖：
若生產一件一等品、二等品、三等品的利潤分別是元、
元、
元.
（Ⅰ）以各組的中間值估計為該組半成品的質量指標，估算流水線第一段生產的半成品質量指標的平均值；
（Ⅱ）將頻率估計為概率，試估算一條流水線一年能為該公司創造的利潤；
（Ⅲ）現在市面上有一種設備可以安裝到流水線第一段，價格是
萬元，使用壽命是
年，安裝這種設備后，流水線第一段半成品的質量指標服從正態分布
，且不影響產量.請你幫該公司作出決策，是否要購買該設備？說明理由.
（參考數據：
，
，
）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四邊形
中，
，
，四邊形
為矩形，且
平面，
.
（1）求證：
平面
；
（2）點
在線段
上運動，當點在什么位置時，平面
與平面
所成銳二面角最大，并求此時二面角的余弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】(本小題滿分12分)
某商場準備在國慶節期間舉行促銷活動,根據市場調查,該商場決定從
種服裝商品,種家電商品,
種日用商品中,選出種商品進行促銷活動.
（Ⅰ）試求選出的種商品中至多有一種是家電商品的概率;
（Ⅱ）商場對選出的某商品采用的促銷方案是有獎銷售,即在該商品現價的基礎上將價格提高
元，同時,若顧客購買該商品,則允許有次抽獎的機會,若中獎,則每次中獎都獲得數額為
元的獎券.假設顧客每次抽獎時獲獎的概率都是
,若使促銷方案對商場有利，則最少為多少元？
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