【題目】已知橢圓
：
的離心率為
，過左焦點
的直線與橢圓交于
，
兩點，且線段
的中點為
.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設
為上一個動點，過點與橢圓只有一個公共點的直線為
，過點與
垂直的直線為
，求證：與的交點在定直線上，并求出該定直線的方程.
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）證明見解析，
，
【解析】
（Ⅰ）設
，
，根據點
，
都在橢圓上，代入橢圓方程兩式相減，根據“設而不求”的思想，結合離心率以及中點坐標公式、直線的斜率建立等式即可求解.
（Ⅱ）設
，由對稱性，設
，由，得橢圓上半部分的方程為
，從而求出直線
的方程，再由過點
與
垂直的直線為
，求出，兩方程聯立，消去
，即可求解.
（Ⅰ）由題可知
，直線
的斜率存在.
設，，由于點，都在橢圓上，
所以
①，
②，
①-②，化簡得
③
又因為離心率為
，所以
.
又因為直線過焦點，線段的中點為
，
所以
，
，
，
代入③式，得
，解得
.
再結合
，解得
，
，
故所求橢圓的方程為.
（Ⅱ）證明：設，由對稱性，設，由，得橢圓上半部分的方程為，
，
又過點
且與橢圓只有一個公共點，所以
，
所以：
，④
因為過點且與垂直，所以：
，⑤
聯立④⑤，消去，得
，
又
，所以
，從而可得，
所以與的交點在定直線上.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在多面體ABCDPE中，四邊形ABCD是直角梯形，
，
，平面
平面
，
，
，
，
，
的余弦值為
，
，F為BE中點，G為PD中點．
（1）求證：
平面ABCD；
（2）求平面BCE與平面ADE所成角(銳角)的余弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某種植園在芒果臨近成熟時，隨機從一些芒果樹上摘下100個芒果，其質量分別在
，
，
，
，
，
（單位：克）中，經統計得頻率分布直方圖如圖所示.
（1）經計算估計這組數據的中位數；
（2）現按分層抽樣從質量為，的芒果中隨機抽取6個，再從這6個中隨機抽取3個，求這3個芒果中恰有1個在內的概率.
（3）某經銷商來收購芒果，以各組數據的中間數代表這組數據的平均值，用樣本估計總體，該種植園中還未摘下的芒果大約還有10000個，經銷商提出如下兩種收購方案：
A：所有芒果以10元/千克收購；
B：對質量低于250克的芒果以2元/個收購，高于或等于250克的以3元/個收購，通過計算確定種植園選擇哪種方案獲利更多？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左，右焦點分別為
，
，
，M是橢圓E上的一個動點，且
的面積的最大值為
.
（1）求橢圓E的標準方程，
（2）若
，
，四邊形ABCD內接于橢圓E，
，記直線AD，BC的斜率分別為
，
，求證:
為定值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某中學準備組建“文科”興趣特長社團，由課外活動小組對高一學生文科、理科進行了問卷調查，問卷共100道題，每題1分，總分100分，該課外活動小組隨機抽取了200名學生的問卷成績（單位：分）進行統計，將數據按照
，
，
，
，
分成5組，繪制的頻率分布直方圖如圖所示，若將不低于60分的稱為“文科方向”學生，低于60分的稱為“理科方向”學生.
|
|
（1）根據已知條件完成下面
列聯表，并據此判斷是否有99%的把握認為是否為“文科方向”與性別有關？
（2）將頻率視為概率，現在從該校高一學生中用隨機抽樣的方法每次抽取1人，共抽取3次，記被抽取的3人中“文科方向”的人數為
，若每次抽取的結果是相互獨立的，求的分布列、期望
和方差
.
參考公式：
，其中
.
參考臨界值：
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知雙曲線C：
，O為坐標原點，F為C的右焦點，過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M、N.若
OMN為直角三角形，則|MN|=
A. 
B. 3 C. 
D. 4
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線E：
過點
，過拋物線E上一點
作兩直線PM，PN與圓C：
相切，且分別交拋物線E于M、N兩點．
（1）求拋物線E的方程，并求其焦點坐標和準線方程；
（2）若直線MN的斜率為
，求點P的坐標．
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