Question

【題目】已知點是橢圓上任一點，點到直線：的距離為，到點的距離為，且，若直線與橢圓交于不同兩點、（、都在軸上方），且.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）當為橢圓與軸正半軸的交點時，求直線的方程；

（3）對于動直線，是否存在一個定點，無論如何變化，直線總經過此定點？若存在，求出定點的坐標，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，.

【解析】

（1）利用題意結合距離公式整理計算即可求得橢圓方程；

（2）首先求得點的坐標，然后結合直線的斜率即可求得直線方程；

（3）聯立直線與橢圓的方程，結合韋達定理和題意整理計算即可證得直線過定點．

解：（1）設，則，，

，

化簡得：，

橢圓的方程為：．

（2），，

，，

，，

代入橢圓方程得：，

，或，代入得，（舍去），或，

，據此可得：，，

（3）直線恒過定點，證明如下：

由于，所以關于軸的對稱點在直線上．

設，，，，，

設直線方程：，代入橢圓方程，

得：，故：

，

則直線的方程為：，

令，得：，

，，則：

．

直線總經過定點．