Question

【題目】如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，是等邊三角形，平面平面，，為棱上一點，為的中點，四棱錐的體積為.

（1）若為棱的中點，是的中點，求證：平面平面；

（2）是否存在點，使得平面與平面所成的銳二面角的余弦值為？若存在，確定點的位置；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在，點位于的靠近點的三等分點.

【解析】

（1）根據面面平行的判定定理，即可證明結論成立；

（2）假設存在點滿足題意，根據題中條件，先求出的長，再以為坐標原點，所在直線為軸，過點與平行的直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標系，得到，，，，設，分別表示出平面與平面的一個法向量，根據向量夾角余弦值，求出，即可得出結果.

（1）證明：因為、分別是、的中點，

所以，

在矩形中，，

所以，

又因為、分別是、的中點，

所以，

又因為，，

平面，平面，

所以平面平面.

（2）解：假設棱上存在點滿足題意.

在等邊三角形中，為的中點，

于是，

又平面平面，

平面平面，

平面，

所以平面，

所以是四棱錐的高，

設，則，，

所以，

所以，

以為坐標原點，所在直線為軸，過點與平行的直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.

則，，，，

設，

，，

設平面的一個法向量為，有

，

令，則，

易知平面的一個法向量，

所以，

因為，

所以，

所以存在點，位于的靠近點的三等分點.