Question

【題目】已知，函數的圖象與軸相切．

（1）求實數a的值；

（2）求的單調區間；

（3）當時，恒有，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1） （2）單調遞減區間為，單調遞增區間為．（3）

【解析】

（1）根據題意，設切點為，求出函數的導數表達式，根據圖像特征，可得，解方程即可求得實數a

（2）由（1）得，再令導數為0，根據導數正負判斷函數增減性即可

（3）當時，恒有等價于，當時恒成立，再利用來研究函數的單調性，由于一階導數無法直接判斷正負，故需求解二階導數，由于參數的存在，還需對參數進行分類討論，進一步驗證函數的恒成立問題即可

解：（1），設切點為，

依題意，即解得，所以．

(2) ，當時，；當時，．

故的單調遞減區間為，單調遞增區間為．

（3）令，．

則，令，則，

（�。┤� ，因為當時，，，

所以，所以即在上單調遞增．

又因為，所以當時，，從而在上單調遞增，而，

所以，即成立．

（ⅱ）若，可得在上單調遞增．

因為，，

所以存在，使得，且當時，，

所以即在上單調遞減，

又因為，所以當時，，

從而在上單調遞減，

而，所以當時，，即不成立

綜上所述的取值范圍是