Question

【題目】已知函數f (x)＝xlnx－x．

（1）設g(x)＝f (x)＋|x－a|，a∈R．e為自然對數的底數．

①當時，判斷函數g(x)零點的個數；

②時，求函數g(x)的最小值．

（2）設0＜m＜n＜1，求證：

Answer 1

【答案】（1）① g(x)有且僅有兩個零點．②a－e．（2）證明見解析

【解析】

（1）將代入g(x)＝f (x)＋|x－a|，化簡得g(x)＝xlnx＋，再根據導數正負判斷在極值點處函數值的正負，結合極值點兩側值加以論證即可，可取驗證求解

（2）由于參數的不確定性，需根據將參數分成a≤，a≥e，＜a＜e三段進行討論，進一步判斷函數的單調區間

（3）可先構造函數h(x)＝，求得h′(x)＝＞0，于是h(x)在(0，1)單調遞增，因0＜m＜n＜1，所以h(m)＜h(n)，從而有，再設φ(x)＝，x＞0 ，通過導數來驗證φ(x)增減性，進一步通過增減性求得最值，即可求證不等式成立

解：（1）①當時， g(x)＝xlnx－x＋|x＋|＝xlnx＋，

g′(x)＝1＋lnx，

當0＜x＜時，g′(x)＜0；當x＞時，g′(x)＞0；

因此g(x)在(0，)上單調遞減，在(，＋∞)上單調遞增，

又，g()＝－＋＜0，g(1)＝＞0，

所以g(x)有且僅有兩個零點．

②（i）當a≤時，g (x)＝xlnx－x＋x－a＝xlnx－a，

因為x∈[，e]，g′(x)＝1＋lnx≥0恒成立，

所以g(x)在[，e]上單調遞增，所以此時g(x)的最小值為g()＝－－a．

（ii）當a≥e時，g(x)＝xlnx－x＋a－x＝xlnx－2x＋a，

因為x∈[，e]，g′(x)＝lnx－1≤0恒成立，

所以g(x)在[，e]上單調遞減，所以此時g(x)的最小值為g(e)＝a－e．

（iii）當＜a＜e時，

若≤x≤a，則g(x)＝xlnx－x＋a－x＝xlnx－2x＋a，

若a≤x≤e，則g(x)＝xlnx－x＋x－a＝xlnx－a，

由（i），（ii）知g(x)在[，a]上單調遞減，在[a，e]上單調遞增，

所以此時g(x)的最小值為g(a)＝alna－a，

綜上有：當a≤時，g(x)的最小值為－－a；

當＜a＜e時，g(x)的最小值為alna－a；

當a≥e時，g(x)的最小值為a－e．

（2）設h(x)＝，

則當x∈(0，1)時，h′(x)＝＞0，于是h(x)在(0，1)單調遞增，

又0＜m＜n＜1，所以h(m)＜h(n)，

從而有

設φ(x)＝，x＞0

則φ′(x)＝

因此φ(x)在(0，＋∞)上單調遞增，

因為0＜n＜1，所以φ(n)＜φ(1)＝0，即lnn－1＋＜0，

因此

即原不等式得證．