Question

【題目】已知橢圓：，圓：，一動圓在軸右側與軸相切，同時與圓相外切，此動圓的圓心軌跡為曲線，橢圓與曲線有相同的焦點.

（1）求曲線的方程；

（2）設曲線與橢圓相交于第一象限點，且，求橢圓的標準方程；

（3）在（2）的條件下，如果橢圓的左頂點為，過且垂直于軸的直線與橢圓交于，兩點，直線，與直線：分別交于，兩點，證明：四邊形的對角線的交點是橢圓的右頂點.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見解析

【解析】

（1）設動圓圓心的坐標為，，計算化簡得到答案.

（2）計算，則，得到答案.

（3）計算，，，直線的方程為，令，得，得到答案.

（1）設動圓圓心的坐標為，因為動圓在軸右側與軸相切，同時與圓相外切，所以，所以，化簡整理得，

曲線的方程為.

（2）依題意，，，可得，故點坐標為，

橢圓的另一焦點為，

由兩點間的距離可得，

又由橢圓的定義得，.

所以，所以橢圓的標準方程為.

（3）由（2）知，，直線的方程為，

根據橢圓的對稱性，當直線軸時，四邊形是等腰梯形，對角線的交點在軸上，此時直線的方程為，

由，，不妨取，，

故直線的方程為，將代入得，

所以直線的方程為，令，得，

即直線與軸的交點為，此時恰好為橢圓的右頂點.