Question

【題目】已知橢圓經過點，離心率為， 為坐標原點．

（I）求橢圓的方程．

（II）若點為橢圓上一動點，點與點的垂直平分線l交軸于點，求的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（I）由離心率得到，再由橢圓過點E可求得， ，故可得橢圓的方程；（II）設點，結合條件可得AP的垂直平分線的方程為： ，令，得，再由點P在橢圓上可得得，化簡點，求出|OB|后用基本不等式求解即可。

試題解析：（Ⅰ）因為橢圓的離心率為，

所以，故，

所以橢圓的方程為為，

又點在橢圓上，

所以，

解得，

所以橢圓的方程為．

（Ⅱ）由題意直線的斜率存在，設點，

則線段的中點的坐標為，且直線的斜率，

因為直線，

故直線的斜率為，且過點，

所以直線的方程為： ，

令，得，

則，

由，得，

化簡得．

所以．

當且僅當，即時等號成立．

所以的最小值為．