Question

【題目】已知函數且.

（Ⅰ）若函數在處取得極值，求實數的值.

（Ⅱ）若函數不存在零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（I）；

（II）

【解析】

（Ⅰ）求函數的導數，利用函數在處取得極值，則即，再檢驗函數在時，取得極小值，可得實數a的值；

（Ⅱ）若函數不存在零點，則函數的值恒大于或小于0，分類討論a，利用函數的單調性，求得函數的最值，列出不等式，可得滿足條件的實數a的取值范圍．

解：（I）函數且，

其的定義域為R，

，

因為函數在處取得極值，

所以即，

經檢驗，當時，取得極小值，

故；

（Ⅱ），由于，

（i）當時，恒成立，

則是增函數，

且當時，，

當時，

解得，

取，則 ，

所以函數存在零點，

（ii）當時，由=0，得，

在上，，單調遞減，

在上，，單調遞增，

所以時，取得最小值，

函數不存在零點，等價于，

即，

解得，

綜上所述：所求的實數a的取值范圍是.