已知動點到定點
和
的距離之和為
.
(Ⅰ)求動點軌跡
的方程;
(Ⅱ)設,過點
作直線
,交橢圓
異于
的
兩點,直線
的斜率分別為
,證明:
為定值.
(Ⅰ);(Ⅱ)證明過程詳見解析.
解析試題分析:本題考查橢圓的基本量間的關系及韋達定理的應用.第一問是考查橢圓的基本量間的關系,比較簡單;第二問是直線與橢圓相交于兩點,先設出
兩點坐標,本題的突破口是在消參后的方程中找出兩根之和、兩根之積,整理斜率的表達式,但是在本問中需考慮直線的斜率是否存在,此題中蘊含了分類討論的思想的應用.
試題解析:(Ⅰ)由橢圓定義,可知點的軌跡是以
為焦點,以
為長軸長的橢圓.
由,得
.故曲線
的方程為
. 5分
(Ⅱ)當直線的斜率存在時,設其方程為
,
由,得
. 7分
設,
,
,
.
從而. 11分
當直線的斜率不存在時,得
,
得.
綜上,恒有. 12分
考點:1.三角形面積公式;2.余弦定理;3.韋達定理;4.橢圓的定義.
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知橢圓的離心率為
,直線
與以原點為圓心、橢圓
的短半軸長為半徑的圓
相切.
(1)求橢圓的方程;
(2)如圖,、
、
是橢圓
的頂點,
是橢圓
上除頂點外的任意點,直線
交
軸于點
,直線
交
于點
,設
的斜率為
,
的斜率為
,求證:
為定值.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知橢圓:
的左焦點為
,右焦點為
.
(Ⅰ)設直線過點
且垂直于橢圓的長軸,動直線
垂直
于點P,線段
的垂直平分線交
于點M,求點M的軌跡
的方程;
(Ⅱ)設為坐標原點,取曲線
上不同于
的點
,以
為直徑作圓與
相交另外一點
,求該圓的面積最小時點
的坐標.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知橢圓(
)右頂點與右焦點的距離為
,短軸長為
.
(I)求橢圓的方程;
(II)過左焦點的直線與橢圓分別交于
、
兩點,若三角形
的面積為
,求直線
的方程.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知拋物線的焦點為
,過
任作直線
(
與
軸不平行)交拋物線分別于
兩點,點
關于
軸對稱點為
,
(1)求證:直線與
軸交點
必為定點;
(2)過分別作拋物線的切線,兩條切線交于
,求
的最小值,并求當
取最小值時直線
的方程.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
如圖,橢圓經過點
離心率
,直線
的方程為
.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)是經過右焦點
的任一弦(不經過點
),設直線
與直線
相交于點
,記
的斜率分別為
問:是否存在常數
,使得
若存在求
的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知橢圓C:+
=1(a>b>0)的焦距為4,且與橢圓x2+
=1有相同的離心率,斜率為k的直線l經過點M(0,1),與橢圓C交于不同的兩點A、B.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)當橢圓C的右焦點F在以AB為直徑的圓內時,求k的取值范圍.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
如圖,已知橢圓的上、下頂點分別為
,點
在橢圓上,且異于點
,直線
與直線
分別交于點
,
(Ⅰ)設直線的斜率分別為
,求證:
為定值;
(Ⅱ)求線段的長的最小值;
(Ⅲ)當點運動時,以
為直徑的圓是否經過某定點?請證明你的結論.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
四邊形ABCD的四個頂點都在拋物線上,A,C關于
軸對稱,BD平行于拋物線在點C處的切線。
(Ⅰ)證明:AC平分;
(Ⅱ)若點A坐標為,四邊形ABCD的面積為4,求直線BD的方程。
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