Question

已知動點到定點和的距離之和為.
（Ⅰ）求動點軌跡的方程；
（Ⅱ）設，過點作直線，交橢圓異于的兩點，直線的斜率分別為，證明：為定值.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）證明過程詳見解析.

解析試題分析：本題考查橢圓的基本量間的關系及韋達定理的應用.第一問是考查橢圓的基本量間的關系，比較簡單；第二問是直線與橢圓相交于兩點，先設出兩點坐標，本題的突破口是在消參后的方程中找出兩根之和、兩根之積，整理斜率的表達式，但是在本問中需考慮直線的斜率是否存在，此題中蘊含了分類討論的思想的應用.
試題解析：（Ⅰ）由橢圓定義，可知點的軌跡是以為焦點，以為長軸長的橢圓．
由，得．故曲線的方程為．        5分
（Ⅱ）當直線的斜率存在時，設其方程為，
由，得．     7分
設，，，．
從而．                                                                                 11分
當直線的斜率不存在時，得，
得．
綜上，恒有．                                              12分
考點：1.三角形面積公式；2.余弦定理；3.韋達定理；4.橢圓的定義.