Question

【題目】如圖， 為圓柱 的母線， 是底面圓 的直徑， 是 的中點.

（Ⅰ）問： 上是否存在點 使得 平面 ？請說明理由；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若 平面 ，假設這個圓柱是一個大容器，有條體積可以忽略不計的小魚能在容器的任意地方游弋，如果小魚游到四棱錐 外會有被捕的危險，求小魚被捕的概率.

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）存在，E是 的中點．
證明：如圖

連接 , ∵ 分別為 , 的中點，
∴ ，
又 ，且 ，
∴四邊形 是平行四邊形，
即 , 平面 , 平面 ，
∴ 平面 .
（Ⅱ）魚被捕的概率 ，
由 平面 ，且由（Ⅰ）知 ，∴ 平面 ，∴ ，
又 是 中點，∴ ，因 是底面圓 的直徑，得 ，且 ，
∴ 平面 ，即 為四棱錐 的高．
設圓柱高為 ，底面半徑為 ，則 ，
，
∴ .
故答案為： ．
【解析】（1）要使CB1上存在點點 E 使得 DE / / 平面 ABC，則當點E為CB1的中點時，四邊形 AOED 是平行四邊形，能滿足D E / / 平面 ABC.
（2）這是一個概型問題，由體積的比值求出概率，本題適合間接法.