Question

【題目】如圖，為拋物線上的兩個不同的點，且線段的中點在直線上，當點的縱坐標為1時，點的橫坐標為.

（1）求拋物線的標準方程；

（2）若點在軸兩側，拋物線的準線與軸交于點，直線的斜率分別為，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據題意，當點的坐標為時，設點，則點，再將其代入拋物線方程解得即可；

（2）設直線的方程為，設，由線段的中點在直線上，可得，進而可得直線的方程為，再表示出直線的斜率，進而運算即可.

（1）由題意知，當點的坐標為時，設點，則點，

因為為拋物線上的兩個不同的點，所以解得

所以拋物線的標準方程為.

（2）顯然直線的斜率存在且不為0，故可設直線的方程為，

聯立方程，得消去，化簡并整理得.

則，即.

設，則，

所以，

故直線的方程為.

，

易知，所以，

所以.

因為，所以，當且僅當時取等號，所以.

故的取值范圍為.