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【題目】平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數，且）.以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（2）已知點P的極坐標為，Q為曲線上的動點，求的中點M到曲線的距離的最大值.

【答案】（1），.（2）

【解析】

（1）化簡得到，再考慮，利用極坐標方程公式得到答案.

（2）P的直角坐標為，設點，故，代入圓方程得到M在圓心為，半徑為1的圓上，計算得到最大距離.

（1）因為，所以3×①+4×②，得.

又，

所以的普通方程為，

將，代入曲線的極坐標方程，得曲線的直角坐標方程為.

（2）由點P的極坐標，可得點P的直角坐標為.

設點，因為M為的中點，所以

將Q代入的直角坐標方程得，

即M在圓心為，半徑為1的圓上.

所以點M到曲線距離的最大值為，

由（1）知不過點，且，

即直線與不垂直.

綜上知，M到曲線的距離的最大值為.

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為梯形，，若棱，，兩兩垂直，長度分別為1，2，2，且向量與夾角的余弦值為.

（1）求的長度；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知在平面直角坐標系內，曲線的參數方程為（為參數）．以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為．

（1）把曲線和直線化為直角坐標方程；

（2）過原點引一條射線分別交曲線和直線于，兩點，射線上另有一點滿足，求點的軌跡方程（寫成直角坐標形式的普通方程）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某總公司在A，B兩地分別有甲、乙兩個下屬公司同種新能源產品（這兩個公司每天都固定生產50件產品），所生產的產品均在本地銷售.產品進人市場之前需要對產品進行性能檢測，得分低于80分的定為次品，需要返廠再加工；得分不低于80分的定為正品，可以進人市場.檢測員統計了甲、乙兩個下屬公司100天的生產情況及每件產品盈利虧損情況，數據如表所示：

表1

甲公司

得分

[50，60）

[60，70）

[70，80）

[80，90）

[90，100]

件數

10

10

40

40

50

天數

10

10

10

10

80

表2

甲公司

得分

[50，60）

[60，70）

[70，80）

[80，90）

[90，100]

件數

10

5

40

45

50

天數

20

10

20

10

70

表3

每件正品

每件次品

甲公司

盈2萬元

虧3萬元

乙公司

盈3萬元

虧3.5萬元

（1）分別求甲、乙兩個公司這100天生產的產品的正品率（用百分數表示）.

（2）試問甲、乙兩個公司這100天生產的產品的總利潤哪個更大？說明理由.

（3）若以甲公司這100天中每天產品利潤總和對應的頻率作為概率，從甲公司這100天隨機抽取1天，記這天產品利潤總和為X，求X的分布列及其數學期望.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數，且）.以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（2）已知點P的極坐標為，Q為曲線上的動點，求的中點M到曲線的距離的最大值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四邊形中，，以為折痕把折起，使點到達點的位置，且.

（1）證明：平面；

（2）若為的中點，二面角等于60°，求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】以直角坐標系的原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，并在兩種坐標系中取相同的長度單位.已知圓和圓的極坐標方程分別是和.

（1）求圓和圓的公共弦所在直線的直角坐標方程；

（2）若射線：與圓的交點為O、P，與圓的交點為O、Q，求的最大值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，一條東西流向的筆直河流，現利用航拍無人機監控河流南岸相距150米的兩點處（在的正西方向），河流北岸的監控中心在的正北方100米處，監控控制車在的正西方向，且在通向的沿河路上運動，監控過程中，保證監控控制車到無人機和到監控中心的距離之和150米，平面始終垂直于水平面，且，兩點間距離維持在100米.

（1）當監控控制車到監控中心的距離為100米時，求無人機距離水平面的距離；

（2）若記無人機看處的俯角（），監控過程中，四棱錐內部區域的體積為監控影響區域，請將表示為關于的函數，并求出監控影響區域的最大值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】橢圓的右焦點為F到直線的距離為，拋物線的焦點與橢圓E的焦點F重合，過F作與x軸垂直的直線交橢圓于S，T兩點，交拋物線于C，D兩點，且．

（1）求橢圓E及拋物線G的方程;

（2）過點F且斜率為k的直線l交橢圓于A，B點，交拋物線于M，N兩點，如圖所示，請問是否存在實常數，使為常數，若存在，求出的值;若不存在，說明理由．

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