Question

【題目】記函數的定義域為D. 如果存在實數、使得對任意滿

足且的x恒成立，則稱為函數.

（1）設函數，試判斷是否為函數，并說明理由；

（2）設函數，其中常數，證明： 是函數；

（3）若是定義在上的函數，且函數的圖象關于直線（m為常數）對稱，試判斷是否為周期函數？并證明你的結論.

Answer 1

【答案】(1) 是函數(2)見解析(3) 函數為周期函數

【解析】試題分析： 求出的定義域， 對任意恒成立轉化成對任意恒成立，解出，使得

為函數只需證明存在實數， 使得當且時， 恒成立，化簡求得， ，滿足條件圖象關于直線對稱，結合，整體換元得，從而證明結論

解析：（1）是函數

理由如下： 的定義域為，

只需證明存在實數， 使得對任意恒成立.

由，得，即.

所以對任意恒成立. 即

從而存在，使對任意恒成立.

所以是函數.

（2）記的定義域為，只需證明存在實數， 使得當且時，

恒成立，即恒成立.

所以，

化簡得， .

所以, . 因為，可得， ,

即存在實數， 滿足條件，從而是函數.

（3）函數的圖象關于直線（為常數）對稱，

所以 （1），

又因為 （2），

所以當時，

由（1）

由（2） （3）

所以

（取由（3）得）

再利用（3）式， .

所以為周期函數，其一個周期為.

當時，即，又，

所以為常數. 所以函數為常數函數，

， 是一個周期函數.

綜上，函數為周期函數