Question

【題目】如圖，已知四棱錐中， 平面， ， ，且， ， 是的中點.

（1）求異面直線與所成角的大小；

（2）求點D到平面的距離.

Answer 1

【答案】(1) 異面直線與所成角為;(2)1.

【解析】試題分析：（1）因為平面，取的中點，則 兩兩垂直，以點為原點以為軸，建立空間直角坐標系，分別求出異面直線與的方向向量，利用空間向量夾角余弦公式求解即可；（2）先求得，又∵平面， 是平面的一個法向量，所以點 到平面的距離.

試題解析：（1）如圖所示，以點為原點建立空間直角坐標系，

則， ， ，故， ，

，即，

故異面直線與所成角為；

（2）在平面中，∵， ，∴，

∵，∴，由得，

∴，又∵，∴，又∵平面，

∴是平面的一個法向量，所以點D到平面的距離

【方法點晴】本題主要考查利用空間向量求線面角，以及利用向量求點面距離，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理結論求出相應的角和距離.