Question

已知函數f（x+2）為奇函數，且滿足f（6-x）=f（x），f（3）=2，則f（2008）+f（2009）的值為（　　）

A．0

B．2

C．-2

D．2009

Answer 1

分析：由函數f（x+2）為奇函數，f（-x+2）=-f（x+2）⇒f（x）=-f（4-x），與條件f（6-x）=f（x）聯立⇒f（x+4）=f（x），從而可求得f（2008）+f（2009）=f（0）+f（1），利用上面的關系式容易求得f（1）、f（0）的值，問題即可解決．

解答：解：由已知得f（-x+2）=-f（x+2），所以f（x）=-f（4-x），
又f（6-x）=f（x），
∴f（6-x）=-f（4-x），
令4-x=t，則f（2+t）=-f（t），f[2+（2+t）]=-f（2+t）=f（t），
∴f（x+4）=f（x），即f（x）是以4為周期的函數；
∴f（2008）+f（2009）=f（0）+f（1），
又f（1）=-f（4-1）=-2，由f（6-x）=f（x）得：f（4）=f（2）；
由f（x+4）=f（x）得：f（0）=f（4）；①
由f（x）=-f（4-x）得：f（0）=-f（4）；②
①+②得：f（0）=0，
∴f（2008）+f（2009）=-2．
故選C．

點評：本題考察函數的周期性，關鍵在于靈活代換，例如得到f（6-x）=-f（4-x）后，令4-x=t，可得f（4+t）=f（t），屬于中檔題．