Question

已知函數f（x+2）是偶函數，x＞2時f′（x）＞0恒成立（其中f′（x）是函數f（x）的導函數），且f（4）=0，則不等式（x+2）f（x+3）＜0的解集為

 

．

Answer 1

分析：由題意可得，函數f（x）的圖象關于直線x=2對稱．f（x）在（2，+∞）上是增函數，在（-∞，-2）上是減函數，f（4）=f（0）=0．畫出函數f（x）的單調性示意圖，由不等式（x+2）f（x+3）＜0，可得①

x+2＞0 f(x+3)＜0

，或 ②

x+2＜0 f(x+3)＞0

．分別求得①、②的解集，再取并集，即得所求．

解答：解：由于函數f（x+2）是偶函數，故函數f（x）的圖象
關于直線x=2對稱．
∵x＞2時f′（x）＞0恒成立，
故函數f（x）在（2，+∞）上是增函數，
在（-∞，-2）上是減函數．
再根據f（4）=0，可得f（0）=0．
畫出函數f（x）的單調性示意圖，如圖所示：
故由不等式（x+2）f（x+3）＜0，可得
①

x+2＞0 f(x+3)＜0

，或 ②

x+2＜0 f(x+3)＞0

．
解①可得

x＞-2 0＜x+3＜4

，-2＜x＜1．
解②可得

x＜-2 x+3＜0 ，或x+3＞4

，x＜-3．
綜上可得，不等式的解集為（-2，1）∪（-∞，-3），
故答案為：（-2，1）∪（-∞，-3）．

點評：本題主要考查函數的單調性和奇偶性的應用，不等式的解法，體現了轉化以及數形結合的數學思想，
屬于中檔題．