Question

【題目】已知函數f（x）=．

（1）若f（2）=a，求a的值；

（2）當a=2時，若對任意互不相等的實數x1，x2∈（m，m+4），都有＞0成立，求實數m的取值范圍；

（3）判斷函數g（x）=f（x）-x-2a（＜a＜0）在R上的零點的個數，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）個零點，理由見解析.

【解析】

（1）分類討論求出f（2），代入 f（2）＝a，解方程可得；

（2）a＝2時，求出分段函數的增區間；“對任意互不相等的實數x1，x2∈（m，m+4），都有0成立”f（x）在（m，m+4）上是增函數，根據子集關系列式可得m的范圍；

（3）按照x≥a和x＜a這2種情況分別討論零點個數．

解：（1）因為f（2）=a，

當a≤2時，4-2（a+1）+a=a，解得a=1符合；

當a＜2時，-4+2（a+1）-a=a，此式無解；

綜上可得：a=1．

（2）當a=2時，f（x）=，

∴f（x）的單調增區間為（-∞，）和（2，+∞），

又由已知可得f（x）在（m，m+4）上單調遞增，

所以m+4≤，或m≥2，

解得m≤-或m≥2，

∴實數m的取值范圍是（-∞，-]∪[2，+∞）；

（3）由題意得g（x）=

①當x≥a時，對稱軸為x=，

因為-，

所以f（a）=a2-a2-2a-a=-3a＞0，

∵-a=＞a，

∴f（）=-=-＜0，

由二次函數可知，g（x）在區間（a，）和區間（，+∞）各有一個零點；

②當x＜a時，對稱軸為x=＞a，

函數g（x）在區間（-∞，a）上單調遞增且f（）=0，

所以函數在區間（-∞，a）內有一個零點．

綜上函數g（x）=f（x）-x-2a（-＜a＜0）在R上有3個零點．