Question

【題目】已知圓，為上任意一點，，的垂直平分線交于點，記點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）已知點，過的直線交于兩點，證明：直線的斜率與直線的斜率之和為定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）由PF的中垂線可得GP＝GF，而GP+GE＝PE＝4，進而可得G的軌跡為橢圓；且可得F，E為橢圓的焦點，PE的長為長軸長，進而求出橢圓的方程；（2）設直線MN的方程，與橢圓聯立求出兩根之和及兩根之積，進而求出直線SM，SN的斜率之和，將之和及之積代入，由由于Q在直線上，可得參數的關系，進而可得斜率之和為定值．

（1）因為點在的垂直平分線上，所以.

而，

所以動點滿足，

橢圓定義可知，點在以、為焦點的橢圓上，且，

所以，

所以曲線的方程為.

（2）由題意知直線斜率存在.

設其方程為，，，

聯立方程組代入消元并整理得：

，

則，.

，將直線方程代入，整理得：

，

韋達定理代入化簡得：.

因為直線過點，所以，

代入，得.