Question

已知函數 (為實常數) ．
（1）當時，求函數在上的最大值及相應的值；
（2）當時，討論方程根的個數．
（3）若，且對任意的，都有，求實數a的取值范圍.

Answer 1

（1）.；（2）時，方程有2個相異的根. 或時，方程有1個根. 時，方程有0個根.（3）.

試題分析：（1）通過求導數可得函數的單調性，在對比區間的兩端點的函數值即可求得函數的最大值.（2）由于參數的變化.可以采取分離變量的方法，轉化為兩個函數的交點個數問題.其中一個是垂直于y軸的直線，另一個是通過求出函數的走向.根據圖像即可得到結論.（3）將要說明的結論通過變形得到一個等價問題從而證明新的函數的單調性，使得問題巧妙地轉化.本題只是容量大.通過研究函數的單調性，含參函數的討論.與不等式的相結合轉化為函數的單調性的證明.
試題解析：（1），當時，．當時，，又，
故，當時，取等號                 4分
（2）易知，故，方程根的個數等價于時，方程根的個數． 設=，
當時，，函數遞減，當時，，函數遞增．又，，作出與直線的圖像，由圖像知：
當時，即時，方程有2個相異的根；
當 或時，方程有1個根；
當時，方程有0個根；              10分
（3）當時，在時是增函數，又函數是減函數，不妨設，則等價于
即，故原題等價于函數在時是減函數，
恒成立，即在時恒成立．
在時是減函數     16分
（其他解法酌情給分）