Question

【題目】每年的12月4日為我國“法制宣傳日”.天津市某高中團委在2019年12月4日開展了以“學法、遵法、守法”為主題的學習活動.已知該學校高一、高二、高三的學生人數分別是480人、360人、360人.為檢查該學校組織學生學習的效果，現采用分層抽樣的方法從該校全體學生中選取10名學生進行問卷測試.具體要求：每位被選中的學生要從10個有關法律、法規的問題中隨機抽出4個問題進行作答，所抽取的4個問題全部答對的學生將在全校給予表彰.

⑴求各個年級應選取的學生人數；

⑵若從被選取的10名學生中任選3人，求這3名學生分別來自三個年級的概率；

⑶若被選取的10人中的某學生能答對10道題中的7道題，另外3道題回答不對，記表示該名學生答對問題的個數，求隨機變量的分布列及數學期望.

Answer 1

【答案】（1）高一年級應選取人，高二年級應選取人，高三年級應選取人.（2）（3）詳見解析

【解析】

（1）利用分層抽樣求得各年級應抽取的人數；

（2）利用計算原理求得基本事件的總數為，再求出所求事件的基本事件數，再代入古典概型概率計算公式；

（3）隨機變量的所有可能取值為，利用超幾何分計算（），最后求得期望值.

（1）由題意，知高一、高二、高三年級的人數之比為，由于采用分層抽樣方法從中選取人，因此，高一年級應選取人，高二年級應選取人，高三年級應選取人.

（2）由（1）知，被選取的名學生高一、高二、高三年級分別有人、人、人，所以，從這名學生任選名，且名學生分別來自三個年級的概率為.

（3）由題意知，隨機變量的所有可能取值為，

且服從超幾何分布，（）.

所以，隨機變量的分布列為

	1	2	3	4

所以，隨機變量的數學期望為

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