Question

【題目】已知點和點，直線，的斜率乘積為常數，設點的軌跡為，下列說法正確的是（ ）

A.存在非零常數，使上所有點到兩點，距離之和為定值

B.存在非零常數，使上所有點到兩點，距離之和為定值

C.不存在非零常數，使上所有點到兩點，距離之差的絕對值為定值

D.不存在非零常數，使上所有點到兩點，距離之差的絕對值為定值

Answer 1

【答案】BD

【解析】

首先求出點的軌跡方程，然后分類討論，即可判斷出選項是否正確.

設點坐標，

因為直線，的斜率乘積為常數，

所以，

可知當，軌跡為圓，

當，軌跡為橢圓，

當，軌跡為雙曲線，且焦點在軸上，

對于A選項，點的軌跡為焦點在軸上的橢圓，且焦點的距離為，

由軌跡方程知，橢圓的長軸長為，長軸長小于焦距，這樣的橢圓不存在，

故A錯誤，

對于B選項，點的軌跡為焦點在軸上的橢圓，且焦點的距離為，

由軌跡方程知，橢圓的長軸長為，短軸長為，

有，故B正確，

對于C選項，點的軌跡為焦點在軸上的雙曲線，且焦點的距離為，

由軌跡方程知，雙曲線的實軸長為，虛軸長為，

有，故C錯誤，

對于D選項，點的軌跡為焦點在軸上的雙曲線，

但題中軌跡方程焦點在軸上，故滿足條件的非零常數不存在，

故D正確.

故選：BD.