Question

【題目】如圖，在平行四邊形中，于點，將沿折起，使，連接，得到如圖所示的幾何體．

（1）求證：平面平面；

（2）若點在線段上，直線與平面所成角的正切值為，求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）取中點，以所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系，利用向量的數量積為零證明，即可得出平面，從而可得結論；（2）過作，垂足為，連接，則，可得平面，由此為直線與平面所成的角，利用正切值為求出到平面的距離，代入體積公式即可得結果．

（1）∵BE⊥AE，DE⊥AE，BE∩DE=E，

∴AE⊥平面BCDE，

以E為坐標原點，以ED，EB，EA所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系如圖：

則A（0，0，1），B（0，1，0），C（2，1，0），D（1，0，0），

設AC的中點為M，則M（1，，），

∴=（0，，），=（0，1，-1），=（2，0，0），

∴=0，=0，

∴DM⊥AB，DM⊥BC，

又AB∩BC=B，AB平面ABC，BC平面ABC，

∴DM⊥平面ABC，

又DM平面ACD，

∴平面ACD⊥平面ABC．

（2）過P作PN⊥BE，垂足為N，連接DN，

則PN∥AE，∴PN⊥平面BCDE，

∴∠PDN為直線PD與平面BCD所成的角．

設PN=x，則BN=x，故EN=1-x，∴DN=，

∴tan∠PDN===，解得x=，即PN=．

∵BD==，CD=AB=，BC=2，

∴BD2+CD2=BC2，∴BD⊥CD．

∴S△BCD==1，

∴三棱錐P-BCD的體積V=S△BCDPN==．