【題目】已知函數
有兩個不同的零點.
（1）求
的取值范圍；
（2）記兩個零點分別為
，且
，已知
，若不等式
恒成立，求
的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】試題分析：（Ⅰ）方程
在
有兩個不同跟等價于函數
與函數
的圖像在
上有兩個不同交點,對
進行求導，通過單調性畫出
的草圖，由
與
有兩個交點進而得出
的取值范圍; （Ⅱ）分離參數得： 
,從而可得
恒成立；再令
,從而可得不等式
在
上恒成立，再令
，從而利用導數化恒成立問題為最值問題即可．
試題解析：（I）依題意，函數
的定義域為
，
所以方程
在
有兩個不同跟等價于函數
與函數
的圖像在
上有兩個不同交點.
又
，即當
時， 
；當
時， 
,
所以
在
上單調遞增，在
上單調遞減.
從而
.
又
有且只有一個零點是1，且在
時， 
，在
時， 
，
所以
的草圖如下：
可見，要想函數
與函數
在圖像
上有兩個不同交點，只需
.
（Ⅱ）由（I）可知
分別為方程
的兩個根，即
， 
，
所以原式等價于
.
因為
， 
，所以原式等價于
.
又由
， 
作差得， 
，即
.
所以原式等價于
.
因為
，原式恒成立，即
恒成立.
令
，則不等式
在
上恒成立.
令
，則
，
當
時，可見
時， 
，所以
在
上單調遞增，又
在
恒成立，符合題意；
當
時，可見當
時， 
；當
時， 
，
所以
在
時單調遞增，在
時單調遞減.
又
，所以
在
上不能恒小于0，不符合題意，舍去.
綜上所述，若不等式
恒成立，只須
，又
，所以
.
期末100分闖關海淀考王系列答案
小學能力測試卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】甲、乙兩位學生參加某項競賽培訓，在培訓期間，他們參加的5項預賽成績的莖葉圖記錄如下：
(1)從甲、乙兩人的成績中各隨機抽取一個，求甲的成績比乙高的概率；
(2)現要從中選派一人參加該項競賽，從統計學的角度考慮，你認為選派哪位學生參加合適？說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
， 
，其中
是自然常數， 
.
（1）當
時，求
的極值，并證明
恒成立；
（2）是否存在實數
，使
的最小值為
？若存在，求出
的值；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）= 
sinxcosx﹣cos2x+ 
，（x∈R）．
（1）若對任意x∈[﹣ 
， 
]，都有f（x）≥a，求a的取值范圍；
（2）若先將y=f（x）的圖象上每個點縱坐標不變，橫坐標變為原來的2倍，然后再向左平移 
個單位得到函數y=g（x）的圖象，求函數y=g（x）﹣ 
在區間[﹣2π，4π]內的所有零點之和．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示是一樣本的頻率分布直方圖，則由圖形中的數據，可以估計眾數與中位數分別是（ ） 
A.12.5 12.5
B.12.5 13
C.13 12.5
D.13 13
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