Question

【題目】已知函數f(x)=ex-ax(a為常數)的圖象與y軸交于點A,曲線y=f(x)在點A處的切線斜率為-1.

(1)求a的值及函數f(x)的極值;

(2)證明:當x>0時,x2<ex.

Answer 1

【答案】（1）a=2，極小值為f(ln 2)=2-2ln 2=2-ln 4,f(x)無極大值；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）根據導數幾何意義得f'(0)=-1，解得a，再根據導函數零點列表分段討論導函數符號，根據符號變化規律確定極值，（2）作差函數，利用二次求導，確定函數單調性，根據單調性證明不等式.

試題解析：(1)解 由f(x)=ex-ax,得f'(x)=ex-a.

因為f'(0)=1-a=-1,所以a=2.

所以f(x)=ex-2x,f'(x)=ex-2.

令f'(x)=0,得x=ln 2.

當x<ln 2時,f'(x)<0,f(x)單調遞減;當x>ln 2時,f'(x)>0,f(x)單調遞增,

所以當x=ln 2時,f(x)取得極小值,極小值為f(ln 2)=2-2ln 2=2-ln 4,f(x)無極大值.

(2)證明 令g(x)=ex-x2,則g'(x)=ex-2x.由(1),得g'(x)=f(x)≥f(ln 2)=2-ln 4>0,

故g(x)在R上單調遞增.

因為g(0)=1>0,所以當x>0,g(x)>g(0)>0,即x2<ex.