Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓C： (a>b>0)的離心率為，右焦點F到右準線的距離為3.

（1）求橢圓C的方程;

（2）過點F作直線l (不與x 軸重合)和橢圓C交于M， N兩點，設點.

①若的面積為，求直線l方程；

②過點M作與)軸垂直的直線l"和直線NA交于點P，求證：點P在一條定直線上.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①，②見解析

【解析】

（1）由橢圓離心率的定義，右焦點與右準線的距離求得橢圓方程；

（2）用設而不求的求直線方程，用三角形面積得直線方程，分類討論可得．

解：

（1）由題意：解得：，所以橢圓的方程為

（2）①當直線l斜率不存在時，方程為，此時，不合題意;

當直線斜率存在時，設方程為.

由，消去y得：.設.

由題意，， 且

所以

因為， 的面積為

所以，即，解得，

所以直線的方程為.

②當直線的斜率不存在時，直線NA的方程為：.令，得，

所以直線與的交點坐標．

當直線的斜率存在時，由①知，

由直線的方程為：

令，得

所以直線與的交點的坐標為，

綜上所述，點在一條定直線上，