Question

【題目】如圖，在四棱柱中，側棱底面， ， ， ， ，且點和分別為和的中點．

（1）求證： 平面；

（2）求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析：（Ⅰ）以A為原點建立空間直角坐標系，利用向量法能證明MN∥平面ABCD．
（Ⅱ）求出兩個平面的法向量，可計算兩個平面所成二面角的余弦值的大小，再求正弦值即可．

試題解析：

（1）證明：如圖，以A為坐標原點，以AC、AB、AA1所在直線分別為x、y、z軸建系，

則A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，﹣2，0），

A1（0，0，2），B1（0，1，2），C1（2，0，2），D1（1，﹣2，2），

又∵M、N分別為B1C、D1D的中點，∴M（1，，1），N（1，﹣2，1）．

由題可知： =（0，0，1）是平面ABCD的一個法向量， =（0，﹣，0），

∵=0，MN平面ABCD，∴MN∥平面ABCD；

（2）解：由（I）可知： =（1，﹣2，2），=（2，0，0），=（0，1，2），

設=（x，y，z）是平面ACD1的法向量，

由，得，

取z=1，得=（0，1，1），

設=（x，y，z）是平面ACB1的法向量，

由，得，

取z=1，得=（0，﹣2，1），

∵cos＜，＞==﹣，∴sin＜，＞==，

∴二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值為；