Question

【題目】如圖，橢圓G的中心在坐標原點，其中一個焦點為圓F：x2+y2﹣2x＝0的圓心，右頂點是圓F與x軸的一個交點．已知橢圓G與直線l：x﹣my﹣1＝0相交于A、B兩點．

（I）求橢圓的方程；

（Ⅱ）求△AOB面積的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）, （Ⅱ）.

【解析】

（I）設出橢圓方程，圓F的標準方程為（x﹣1）2+y2＝1，圓心為F（1，0），圓與x軸的交點為（0，0）和（2，0），從而可求a＝2，半焦距c＝1，由此能求出橢圓方程；

（Ⅱ）直線與橢圓方程聯立．利用韋達定理，求出S△AOB，利用換元法及導數，即可求得S△AOB的最大值．

解：（I）設橢圓方程為（a＞b＞0），圓F的標準方程為（x﹣1）2+y2＝1，

圓心為F（1，0），圓與x軸的交點為（0，0）和（2，0），

由題意a＝2，半焦距c＝1，

∴b2＝a2﹣c2＝4﹣1＝3，

∴橢圓方程為．

（Ⅱ）設A（，）、B（，），

由，消元可得（3m2+3）y2+6my﹣9＝0

∴+，

∴||

∴S△AOB|OF|||

令，則t≥1，m2＝t2﹣1

∴S△AOB

∴S′△AOB

∵t≥1，∴S′△AOB＜0

∴S△AOB在t∈[1，+∞）上是減函數

∴當t＝1時，S△AOB取得最大值，最大值為．