Question

【題目】如圖，四邊形是邊長為2的正方形，為的中點，以為折痕把折起，使點到達點的位置，且.

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）先由線面垂直的判定定理得到平面，進而可得平面平面；

（2）先取中點，連結，，證明平面平面，在平面內作于點，則平面. 以點為原點，為軸，為軸，如圖建立空間直角坐標系.分別求出兩平面的法向量，求向量夾角余弦值，即可求出結果.

（1）因為四邊形是正方形，所以折起后，且，

因為，所以是正三角形，所以.

又因為正方形中，為的中點，所以，所以，

所以，所以，又因為，所以平面.

又平面，所以平面平面.

（2）取中點，連結，，則，，

又，則平面.又平面，所以平面平面.

在平面內作于點，則平面.

以點為原點，為軸，為軸，如圖建立空間直角坐標系.

在中，，，.

∴，，故，，，

∴，.

設平面的一個法向量為，則由，得

，令，得，，

∴.

因為平面的法向量為，

則，

又二面角為銳二面角，∴二面角的余弦值為.