Question

【題目】已知函數，.

（1）若是函數的極值點，求的極小值；

（2）若對任意的實數a，函數在上總有零點，求實數b的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）對函數求導，可得，計算可求出的值，進而得到函數的解析式，并判斷單調性可求出極小值；

（2）函數在上總有零點，若，可知在上單調遞增，可得，即，故在上總有零點的必要條件是，然后分和兩種情況，分別證明當時，在上總有零點即可.

（1）由題可得，

因為，所以，解得，

故，，

令，得，解得或，所以在和上單調遞增；

令，得，解得，所以在上單調遞減.

所以極小值為.

（2）函數在上總有零點，

即在上總有零點.

若，則在上單調遞增，則，即.

故在上總有零點的必要條件是.

以下證明：當時，在上總有零點.

①若，由于，

，且在上連續，

故在上必有零點；

②若，，

構造函數，則，顯然在上單調遞減，在上單調遞增，即在上最小值為，

所以在上恒成立，取，則，，

則，

由于，，

故在上必有零點.

綜上，實數b的取值范圍是.