Question

【題目】如圖，三棱柱中，側面，已知，，，點是棱的中點.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）在棱上是否存在一點，使得與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）（3）存在,或.

【解析】

（1）根據線面垂直的判定定理，即可證得平面.

（2）以為原點，分別以，和的方向為，和軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解；

（3）假設存在點，設，根據，得到的坐標，結合平面的法向量為列出方程，即可求解.

（1）由題意，因為，，，∴，

又∴，∴，

∵側面，∴.

又∵，，平面

∴直線平面.

（2）以為原點，分別以，和的方向為，和軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，

則有，，，，

設平面的一個法向量為

，

∵，∴，令，則，∴

設平面的一個法向量為，，，

∵，∴，令，則，∴，

，，，∴.

設二面角為，則.

∴設二面角的余弦值為.

（3）假設存在點，設，∵，，

∴，∴∴

設平面的一個法向量為，

∴，得.

即，∴或，∴或.