Question

【題目】設命題：實數滿足不等式，命題：函數無極值點.

（1）若“”為假命題，“”為真命題，求實數的取值范圍；

（2）已知“”為真命題，并記為，且：，若是的必要不充分條件，求正整數的值．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）1.

【解析】

（1）由對數的運算、導函數的應用，可得：，：，再結合復合命題的真假即可得解；

（2）由是的必要不充分條件，結合（1）可得，求解即可.

解：（1）因為，

因為,所以，解得得，即：．

又因為，∵函數無極值點，∴恒成立，則，解得，即：．

∵“”為假命題，“”為真命題，∴與只有一個命題是真命題．

若為真命題，為假命題，則,．

若為真命題，為假命題，則．

故實數的取值范圍為或．

（2）∵“”為真命題，∴．

又，∴或， 從而：．

∵是的必要不充分條件，即是的充分不必要條件，

∴，解得，∵，∴，

故正整數的值為.