Question

【題目】某公司為了獲得更大的收益，每年要投入一定的資金用于廣告促銷，經調查，每年投入廣告費t百萬元，可增加銷售額約為百萬元.

（Ⅰ）若該公司將一年的廣告費控制在4百萬元之內，則應投入多少廣告費，才能使該公司由此增加的收益最大？

（Ⅱ）現該公司準備共投入5百萬元，分別用于廣告促銷和技術改造，經預測，每投入技術改造費百萬元，可增加的銷售額約為百萬元，請設計一個資金分配方案，使該公司由此增加的收益最大.

（注：收益=銷售額-投入，這里除了廣告費和技術改造費，不考慮其他的投入）

Answer 1

【答案】（1）投入3百萬元的廣告費時，該公司由此增加的收益最大.（2）4百萬元用于技術改造，1百萬元用于廣告促銷，該公司由此增加的收益最大

【解析】分析：（Ⅰ）先寫出收益f(t)的解析式，再利用二次函數的圖像和性質求最大值和此時t 的值. （Ⅱ）設由此增加的收益是g(x)百萬元,再寫出g(x)的解析式，再利用導數求函數的最值，即得資金分配方案.

詳解：（Ⅰ）設投入t百萬元的廣告費后增加的收益為f(t)百萬元，

則由，

∴當t=3時，f(t)取得最大值9，即投入3百萬元的廣告費時，該公司由此增加的收益最大.

（Ⅱ）用于技術改造的資金為x百萬元，則用于廣告促銷的資金為(5-x)百萬元，設由此增加的收益是g(x)百萬元.

則.

.

則當時，；當時，.

∴當x=4時，g(x)取得最大值.

即4百萬元用于技術改造，1百萬元用于廣告促銷，該公司由此增加的收益最大.