Question

【題目】從秦朝統一全國幣制到清朝末年，圓形方孔銅錢（簡稱“孔方兄”）是我國使用時間長達兩千多年的貨幣．如圖1，這是一枚清朝同治年間的銅錢，其邊框是由大小不等的兩同心圓圍成的，內嵌正方形孔的中心與同心圓圓心重合，正方形外部，圓框內部刻有四個字“同治重寶”．某模具廠計劃仿制這樣的銅錢作為紀念品，其小圓內部圖紙設計如圖2所示，小圓直徑1厘米，內嵌一個大正方形孔，四周是四個全等的小正方形（邊長比孔的邊長小），每個正方形有兩個頂點在圓周上，另兩個頂點在孔邊上，四個小正方形內用于刻銅錢上的字．設，五個正方形的面積和為．

（1）求面積關于的函數表達式，并求的范圍；

（2）求面積最小值．

Answer 1

【答案】（1），的取值范圍為，，（2）

【解析】

(1)由題意可知小正方形的邊長為，大正方形的邊長為，所以五個正方形的面積和為，又，所以，所以的取值范圍為， ，，；

(2)法一：其中，，所以，此時，所以，則，因為，解得，即可求出面積最小值為；

法二：由（1）可知，令，則，設，，利用導數得到當時，面積最小值為．

解：（1）過點分別作小正方形邊，大正方形邊的垂線，垂足分別為，，

因為內嵌一個大正方形孔的中心與同心圓圓心重合，

所以點，分別為小正方形和大正方形邊的中點，

所以小正方形的邊長為，

大正方形的邊長為，

所以五個正方形的面積和為，

，

因為小正方形邊長小于內嵌一個大正方形的邊長，

所以，，，

所以的取值范圍為，，

答：面積關于的函數表達式為，

的取值范圍為，，.

（2）法一：，

，

，

，其中，，

所以，此時，

因為，所以，

所以，

所以，

則，化簡得：，

由此解得：，

因為，所以，

答：面積最小值為，

法二：，

，

令，則，設，，

令，得：，

		0
		極小值

所以時，面積最小值為，

答：面積最小值為.