Question

【題目】已知函數．

若，，試證明：當時，；

若對任意，均有兩個極值點，

試求b應滿足的條件；

當時，證明：．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2），.見解析

【解析】

（1）求出導數，求出其最小值，由最小值大于0，從而證明出結論．

（2）首先＝0有兩個不等的實根，再用導數研究的性質，求導，利用的正負確定的單調性及最小值點，在時，計算出 ，由零點存在定理可得存在兩個零點，即有兩個極值點；當時，可取，此時沒有零點極值點；

由知，，為的兩個實數根，由于，可判斷出兩零點一正一負，即，且在遞減，為證題中不等式，先做一些準備工作，下面先證，只需證明，注意到得，從而，下面再用導數的知識證明；由函數單調性得，問題轉化為只需證明，

即證明，這再用導數加以證明．

證明：，，，

，，

令，解得．

可得：時，函數取得極小值即最小值，

，

函數在當時單調遞增，．

當時，．

，．

設，則，

，，，，

故在遞減，在遞增，

故至多有2個零點；

當時，，，

，且，

又，

由可知，

是R上的連續函數，

在，上各有1個零點，，

此時，，為函數的2個不同的極值點，

故符合題意；

當時，取，則在遞減，在遞增，

故，

故時，，

故函數遞增，沒有極值點，不合題意，

綜上，當時，對任意，均有2個極值點；

由知，，為的兩個實數根，

，，在遞減，

下面先證，只需證明，

得，

，

設，，

則，

故在遞減，

，，，

又，時，，

在遞減，，

問題轉化為只需證明，

即證明，

設函數，，

則，

設，則，

在遞增，

，即，

在遞增，，

當時，，

則，

，

．