Question

【題目】已知數列的首項，其前項和為，對于任意正整數，，都有.

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）設數列滿足，且.

①求證數列為常數列.

②求數列的前項和.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）①見證明；②

【解析】

（Ⅰ）在中取，求得.然后求出當時的通項公式.

（Ⅱ）①將數列的通項公式代入， 用構造法得出，即得證.

②由①可知，，則等差數列前項和.當時,得；當時,得；當時，；從而可求得數列的前項和.

解：（Ⅰ）令，，則由，得

因為，所以，

當時，，且當時，此式也成立．

所以數列的通項公式為

（Ⅱ）①因為，所以（※），

又因為，由（※）式可得，且

將（※）式整理

兩邊各加上得

可知恒成立

所以數列為常數列

②由①可知，，前項和，

可知，前兩項為正數，從第三項開始為負數，

時，；

時，；

時，

經檢驗，時也適合上式

所以，