Question

【題目】已知橢圓 的左、右焦點分別為F1、F2 ， 短軸兩個端點為A、B，且四邊形F1AF2B是邊長為2的正方形．

（1）求橢圓的方程；
（2）若C、D分別是橢圓長的左、右端點，動點M滿足MD⊥CD，連接CM，交橢圓于點P．證明： 為定值．
（3）在（2）的條件下，試問x軸上是否存異于點C的定點Q，使得以MP為直徑的圓恒過直線DP、MQ的交點，若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=2，b=c，a2=b2+c2，∴b2=2；

∴橢圓方程為

（2）解：C（﹣2，0），D（2，0），設M（2，y0），P（x1，y1），

則

直線CM： ，代入橢圓方程x2+2y2=4，

得

∵x1=﹣ ，∴ ，∴ ，∴

∴ （定值）

（3）解：設存在Q（m，0）滿足條件，則MQ⊥DP

則由 ，從而得m=0

∴存在Q（0，0）滿足條件

【解析】（1）由題意知a=2，b=c，b2=2，由此可知橢圓方程為 ．（2）設M（2，y0），P（x1 ， y1），則 ，直線CM： ，代入橢圓方程x2+2y2=4，得 ，然后利用根與系數的關系能夠推導出 為定值．（3）設存在Q（m，0）滿足條件，則MQ⊥DP． ，再由 ，由此可知存在Q（0，0）滿足條件．
【考點精析】利用橢圓的標準方程對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．