Question

【題目】已知函數.

（1）討論的極值點的個數；

（2）若方程在上有且只有一個實根，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 時，有一個極值點；當時，有兩個極值點.

(2) 或或

【解析】

（1）對求導，討論的解是否在，在時判斷解左右的導數符號，確定極值點的個數.

（2）利用（1）所求，對a討論，研究函數的單調性及極值，應用零點存在定理判斷何時方程在上有且只有一個實根.

（1）的定義域為，.

由得或.

當時，由得，由得，

∴在上單調遞增，

在上單調遞減，在處取得極小值，無極大值；

當，即時，由得，或，

由得，

∴在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，

在處取得極小值，在處取得極大值.

綜上，當時，有一個極值點；當時，有兩個極值點.

（2）當時，設，

則在上有且只有一個零點.

顯然函數與的單調性是一致的.

①當時，由（1）知函數在區間上遞減，上遞增，

所以在上的最小值為，

由于，要使在上有且只有一個零點，

需滿足或，解得或.

②當時，因為函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增.

∵，∴當時，總有.

∵，

∴，又

∴在上必有零點.

∵在上單調遞增，

∴當時，在上有且只有一個零點.

綜上，當或或時，方程在上有且只有一個實根.