Question

【題目】在△ABC中，角A，B，C的對邊為a，b，c，角A，B，C的大小成等差數列，向量 =（sin ，cos ），=（cos ，﹣ cos ），f（A）= ，
（1）若f（A）=﹣ ，試判斷三角形ABC的形狀；
（2）若b= ，a= ，求邊c及S△ABC ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A，B，C成等差數列，可得：2B=A+C，

又∵A+B+C=180°，

∴B=60°．

∵向量 =（sin ，cos ）， =（cos ，﹣ cos ），f（A）= =﹣ ，

∴f（A）= =sin cos ﹣ cos cos = sinA﹣ cosA﹣ =sin（A﹣60°）﹣ =﹣ ，

∴可得：sin（A﹣60°）=0．

∵A∈（0，60°]，可得：A﹣60°∈（﹣60°，0]，

∴可得：A=60°，即A=B=C=60°．

∴三角形ABC的形狀為：正三角形

（2）解：∵B=60°，b= ，a= ，

∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可得：3=2+c2﹣2× ，整理可得：c2﹣ ﹣1=0，

∴解得：c= ，或 （舍去），

∴S△ABC= acsinB= × =

【解析】（1）利用已知及等差數列的性質，三角形內角和定理可求B=60°，利用數量積的運算及三角函數恒等變換的應用可求sin（A﹣60°）=0，結合A的范圍可求A=60°，即可得解．（2）利用已知及余弦定理可求c，進而利用三角形面積公式即可計算得解．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用余弦定理的定義的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握余弦定理:;;．