Question

【題目】已知函數.

（1）求函數的單調區間；

（2）當時，如果方程有兩個不等實根，求實數t的取值范圍，并證明.

Answer 1

【答案】（1）當時，的單調遞增區間是，單調遞減區間是；當時，的單調遞增區間是，單調遞減區間是；（2），證明見解析.

【解析】

（1）求出，對分類討論，分別求出的解，即可得出結論；

（2）由（1）得出有兩解時的范圍，以及關系，將，等價轉化為證明，不妨設，令，則，即證，構造函數，只要證明對于任意恒成立即可.

（1）的定義域為R，且.

由，得；由，得.

故當時，函數的單調遞增區間是，

單調遞減區間是；

當時，函數的單調遞增區間是，

單調遞減區間是.

（2）由（1）知當時，，且.

當時，；當時，.

當時，直線與的圖像有兩個交點，

實數t的取值范圍是.

方程有兩個不等實根，

，，，，

，即.

要證，只需證，

即證，不妨設.

令，則，

則要證，即證.

令，則.

令，則，

在上單調遞增，.

，在上單調遞增，

，即成立，

即成立..