Question

【題目】已知函數，其中，.

（1）若，求函數的單調減區間；

（2）若數的極值點是，求b、c的值；

（3）若，曲線在處的切線斜率為，求證：的極大值大于.

Answer 1

【答案】（1）單調減區間為（2），（3）證明見解析

【解析】

（1）計算導數，由確定減區間．

（2）由，可求得，注意即可；

（3）由所以，得.由于，則，極大值點必是的較小根，設其為，則有，再結合，可求得的取值范圍，計算，可利用換元法及導數的知識得證．

（1）因為，

所以，

故.

令，即，

解得，

所以函數的單調減區間為.

（2）因為，

所以.

因為是函數的極值點，

所以是方程的實數根，

故，解得或，

又因為，所以，.

（3）若，由（2）知，

則.

因為曲線在處的切線斜率為，

所以，即.

又因為，所以.

設的較小的根為，

則，即.

由及，得，解得，

則的極大值為

令，則.

所以，

故，在上恒成立，

所以，在上為減函數，

故，即的極大值大于.