Question

【題目】已知函數，函數.

（1）若的定義域為，求實數的取值范圍；

（2）當時，求函數的最小值；

（3）是否存在非負實數，使得函數的定義域為，值域為，若存在，求出的值；若不存在，則說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根據等價轉化的方法，得到在上恒成立，然后利用分類討論的方法，或，并結合二次函數的圖像與性質，可得結果.

（2）利用換元法，可得，然后根據討論對稱軸與區間

的位置關系，根據函數單調性，可得結果.

（3）化簡式子可得，利用該函數的單調性，可得，計算可得結果.

（1）由，

所以

又的定義域為，

則在上恒成立

當時，，則在上不恒成立

當時，則

綜上：

（2）令，則

所以在最小值

等價于在的最小值

對稱軸為

當時，在遞增

則在處有最小值

當時，

則在處有最小值

當時，在遞減

則在處有最小值

綜上：

（3）存在

①

由為非負實數，所以①在單調遞增

又值域為，所以

所以存在，當時，

函數在上，值域為