Question

【題目】已知數列是以為公差的等差數列，數列是以為公比的等比數列.

（1）若數列的前項和為，且，，求整數的值；

（2）若，，，試問數列中是否存在一項，使得恰好可以表示為該數列中連續項的和？請說明理由；

（3）若，，（其中，且是的約數），求證：數列中每一項都是數列中的項.

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在，理由見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）由等差等比數列的表達式an=2n，bn=2qn-1，代入S3<a1003+5b2-2010直接求解即得到答案．

（2）可以先假設數列{bn}中存在一項bk，滿足bk=bm+bm+1+bm+2++bm+p-1，再根據已知的條件去驗證，看是否能找出矛盾．如果沒有矛盾即存在，否則這樣的項bk不存在；

（3）由已知條件b1=ar，得b2=b1q=arq=as=ar+(s-r)d，結合等差等比數列的性質，可證數列中每一項是否都是數列中的項．

(1)由題意知，an=2n，bn=2qn-1，

∴由S3<a1003+5b2-2010，

可得到b1+b2+b3<a1003+5b2-2010b1-4b2+b3<2006-2010q2-4q+3<0．

解得1<q<3，

又q為整數，

∴q=2

(2)假設數列{bn}中存在一項bk，滿足bk=bm+bm+1+bm+2+…+bm+p-1，

∵bn=2n，

∴bk>bm+p-12k>2m+p-1k>m+p-1k≥m+p①

又

=2m+p-2m<2m+p，

∴k<m+p，此與①式矛盾．

∴這樣的項bk不存在；

(3)由b1=ar，得b2=b1q=arq=as=ar+(s-r)d，

則

又，

從而，

∵as≠arb1≠b2，

∴q≠1，又ar≠0，

故．

又t>s>r，且(s-r)是(t-r)的約數，

∵q是整數，且q≥2，

對于數列中任一項bi(這里只要討論i>3的情形)，

有bi=arqi-1=ar+ar(qi-1-1)

=ar+ar(q-1)(1+q+q2+…+qi-2)

=ar+d(s-r)(1+q+q2+…+qi-2)

=ar+[((s-r)(1+q+q2+…+qi-2)+1)-1]d，

由于(s-r)(1+q+q2+…+qi-2)+1是正整數，

∴bi一定是數列的項．

故得證．