Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓：（，）的右焦點，且橢圓過點.

（1）求橢圓的方程；

（2）設動直線與橢圓交于，兩點，，，且的面積.

①求證：為定值；

②設直線的中點，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）①證明見解析；②.

【解析】

（1）由題意可得，，求得后即可得解；

（2）①當直線斜率不存在時易得，當直線斜率存在時，設直線方程為，可得、、、，由可得，再利用化簡即可得證；

②當直線的斜率不存在時，易得；當直線斜率存在時，設直線方程為，表示出、后，再利用基本不等式化簡即可得解.

（1）橢圓右焦點為，且橢圓過點，

，，，

橢圓方程為.

（2）①證明：當直線斜率不存在時，設直線方程為，則，，

易知，，，

解得，此時.

當直線斜率存在時，設直線方程為，

聯立方程得，消去得，

，

，,

，，

，

又 原點到直線的距離，

,

化簡得，解得，

.

綜上，為定值7.

②當直線的斜率不存在時，由①知，，

此時；

當直線斜率存在時，設直線方程為，由①知,

，，

，

即，

，

，

當且僅當即時等號成立，

當直線斜率存在時，.

又，

的最大值為.