Question

【題目】如圖,直角三角形所在的平面與半圓弧所在平面相交于,，,分別為,的中點, 是上異于,的點, .

（1）證明:平面平面;

（2）若點為半圓弧上的一個三等分點(靠近點)求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）由直徑所對的圓周角為，可知，通過計算，利用勾股定理的逆定理可以判斷出為直角三角形，所以有.由已知可以證明出，這樣利用線面垂直的判定定理可以證明平面，利用面面垂直的判定定理可以證明出平面平面;

（2）以為坐標原點，分別以垂直于平面向上的方向、向量所在方向作為軸、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，求出相應點的坐標，求出平面的一個法向量和平面的法向量，利用空間向量數量積運算公式，可以求出二面角的余弦值.

解：（1）證明：因為半圓弧上的一點，所以.

在中，分別為的中點，所以，且.

于是在中， ，

所以為直角三角形，且.

因為，,所以.

因為，，，

所以平面.

又平面，所以平面平面.

（2）由已知，以為坐標原點，分別以垂直于、向量所在方向作為軸、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，,

,,.

設平面的一個法向量為,

則即，取,得.

設平面的法向量,

則即，取,得.

所以，

又二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.