Question

【題目】如圖，在四棱錐中，已知平面平面是邊長為2的等邊三角形，點是的中點，底面是矩形，，為上一點，且.

（1）若，點是的中點，求證：平面平面；

（2）是否存在，使得直線與平面所成角的正切值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在；

【解析】

（1）先根據三角形的中位線和矩形的性質得到線線平行，再根據面面平行的判定定理證明即可；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量法求解.

解：（1）因為，所以為的中點，

因為點是的中點，所以，

又底面是矩形，所以，所以.

在中，由點是的中點，為的中點，得.

又，平面，平面，

，平面，平面，

所以平面平面.

（2）連接，因為是邊長為2的等邊三角形，點是的中點，所以.又平面平面，平面平面，

所以平面.

以點為坐標原點，所在直線分別為軸，過點且平行于的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，.

設平面的法向量為，

則得所以，令，則，

所以平面的一個法向量為.

設直線與平面所成的角為，

則.

假設存在符合題意的，

因為，所以，

所以，化簡整理得，得.

所以當，即為線段的中點時，直線與平面所成角的正切值為.